{"id":14786,"date":"2023-01-22T21:47:37","date_gmt":"2023-01-22T20:47:37","guid":{"rendered":"https:\/\/twt-innovation.de\/?page_id=14786"},"modified":"2025-06-25T18:48:40","modified_gmt":"2025-06-25T16:48:40","slug":"mathematik","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/twt-innovation.de\/en\/mathematik\/","title":{"rendered":"mathematik"},"content":{"rendered":"\t\t
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Mathematik<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Mathematical Research<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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In den letzten Jahrzehnten ist die Komplexit\u00e4t der Herausforderungen f\u00fcr die Industrie zunehmend gestiegen, sodass die konkrete Anwendung mathematischer Methoden in vielen Bereichen zwingend erforderlich geworden ist. Die TWT investiert bereits seit ihrer Gr\u00fcndung 1986 in die Entwicklung der Mathematik. Die Fachgruppierung Mathematical Research, bestehend aus \u00fcber 30 Mathematiker:innen und Mathematikinteressierten, dem Mathematik Circle, tr\u00e4gt dieser Tatsache in mehrfacher Hinsicht Rechnung. Durch die breit gestreute Expertise der Mitarbeitenden bieten wir Fachwissen aus allen gro\u00dfen Bereichen der Mathematik, wie z.B. Analysis, Algebra, Zahlentheorie, Numerik, Stochastik, Data Analytics und Operations Research. Dieses Wissen nutzen wir unter anderem zur Untersuchung und L\u00f6sung grundlegender mathematischer Fragestellungen auf h\u00f6chstem akademischem Niveau. Die so gewonnenen Erkenntnisse nutzen wir dann im Sinne des technisch-wissenschaftlichen Transfers, um unsere Kunden in den immer komplexer werdenden ingenieurwissenschaftlichen, physikalischen und technischen Problemstellungen den notwendigen Vorsprung zu schaffen, der die Wettbewerbsf\u00e4higkeit in der Industrie der Zukunft sichert. Damit wir diesem Anspruch gerecht werden k\u00f6nnen, pflegen wir ein stetig wachsendes Netzwerk zu f\u00fchrenden Instituten und Professor:innen auf der ganzen Welt, welche uns aktiv bei unseren Projekten beraten und unterst\u00fctzen. Hierzu geh\u00f6ren unter anderem ehemalige TWT-Kolleg:innen, die dem Ruf zur\u00fcck an die Hochschule gefolgt sind.<\/p>

Mathematische Grundlagenforschung besch\u00e4ftigt sich mit abstrakten Fragestellungen, die oftmals auf den ersten Blick keine direkte Anwendung in Industrieprojekten haben. Die Bedeutung der mathematischen Grundlagenforschung liegt vorallem in der Entwicklung neuer Methoden und der Erweiterung des vorhandenen Wissens. Das volle Potential dieser Forschungsergebnisse wird vielfach erst sp\u00e4ter und sehr oft auf \u00fcberraschende und unvorhergesehene Weise ausgesch\u00f6pft. In diesem Sinn ist die mathematische Grundlagenforschung ein wichtiger Beitrag f\u00fcr zuk\u00fcnftige Innovationen.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Primzahlen und Fraktale<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Mathematiker sind schon seit jeher fasziniert von dem Ph\u00e4nomen der Primzahlen. Ein spezieller Aspekt dieser besonderen Zahlen ist dabei ihre Verteilung innerhalb der positiven reellen Zahlen. Dazu wird die Funktion \u03c0(x), definiert, die jeder reellen Zahl x die Anzahl \u03c0(x) der Primzahlen p angibt, f\u00fcr die gilt p \u2264 x. Eine erste Absch\u00e4tzung konnten 1896 unabh\u00e4ngig voneinander 1896 Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Val\u00e9e Poussin zeigen: \u03c0(x) verh\u00e4lt sich f\u00fcr x gegen unendlich wie x\/ln(x). Nach eigener Erinnerung hatte Carl Friedrich Gauss dieselbe Vermutung schon 1792 bzw. 93 aufgestellt. Eine Verbesserung dieser Absch\u00e4tzung gelingt durch das Eulersche logarithmische Integral Li(x)=\u222bdt\/ln(t), welches von 2 bis x integriert wird. Diese Vermutung wurde als erstes von Carl Friedrich Gau\u00df 1849 in einem Brief an Encke erw\u00e4hnt und von Legendre 1798 formuliert.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Eine Beweisskizze dieser Vermutung beschrieb Terrence Tao im Jahr 2007 in seiner Vorlesung \u201eStructure and randomness in the prime numbers“, die man als Musik der Primzahlen bezeichnen k\u00f6nnte: Man wendet die von Mangoldt Funktion an, die auf Nicht-Primzahl(potenzen) verschwindet und macht die so entstehende \u201eT\u00f6ne\u201c h\u00f6rbar durch Anwenden der Fourier-Transformation.<\/p>

Ganz im Geiste dieser Skizze wird hier die Zeichnung eines Bildes der Primzahlen angestrebt, dessen Ergebnis rechts dargestellt ist. Dies geschieht, indem ein weiterer Zugang zur Approximation der Primzahl z\u00e4hlenden Funktion \u03c0(x) verfolgt wird, der auf einer additiven Funktion beruht. Zusammen mit Fourier-Polygonen, die im Kontext von regularisierenden Polygontransformationen zur Anwendung kommen, k\u00f6nnen fraktale Primzahlpolygone and fraktale Primzahlkurven abgeleitet werden.<\/p>

Eine ausf\u00fchrliche Darstellung der Zusammenh\u00e4nge und alle pr\u00e4zisen Zitate finden sich in:<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Dimitris Vartziotis, Joachim Wipper: The fractal nature of an approximate prime counting function, https:\/\/arxiv.org\/abs\/1611.01949<\/a><\/p><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Polygonal prime fractal Fp(104).<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Illustration der Symmetrie eines Graphen der Summe zweier bestimmter Exponentialfunktionen.<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Zahlentheorie<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Ein aktuelles Projekt aus der Grundlagenforschung bei TWT besch\u00e4ftigt sich mit der Symmetrie von endlichen Summen von komplexen Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion ist von fundamentaler Bedeutung in der Mathematik und tritt zum Beispiel als elementarer Baustein in Fourierreihen auf. Interpretiert man nun den Graphen einer komplexen Exponentialfunktion als parametrisierte Kurve, so ergibt sich der Einheitskreis. Addiert man aber mehrere verschiedene, komplexe Exponentialfunktionen, so entstehen faszinierende Graphen deren Symmetrie von den erzeugenden Parametern abh\u00e4ngt. In der aktuellen Arbeit konnten die Symmetriegruppen dieser Graphen in Abh\u00e4ngigkeit der erzeugenden Parameter bestimmt werden.<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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PAUSINGER, Florian; VARTZIOTIS, Dimitris. On the symmetry of finite sums of exponentials. Elemente der Mathematik<\/i>, 2021, 76. Jg., Nr. 2, S. 62-73,<\/p><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>

\u00a0<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Spieltheorie<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Typischerweise findet die Spieltheorie in der Wirtschaft Anwendung. Die Frage des Zeitpunkts und des Preises eines Produktes bei Markteinf\u00fchrung oder die Identifikation von Machtverh\u00e4ltnissen sind klassische Probleme. In einem konkreten Auftrag haben wir beispielsweise bereits unseren Kunden darin beraten, wie die Vergabe von Projekten an externe Partner ideal verteilt wird, unter Ber\u00fccksichtigung von mehreren internen Stakeholdern mit eigenen Priorit\u00e4ten bez\u00fcglich der Vergabe. Hierbei haben wir uns insbesondere f\u00fcr das Entscheidungsoptimum interessiert, aber auch f\u00fcr die wahrscheinlichen Verhaltensmuster der Stakeholder, um so optimale Strategien herleiten zu k\u00f6nnen.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Seit einigen Jahren werden die spieltheoretischen Methoden auch vermehrt in anderen Bereichen eingesetzt, wie beispielsweise der Routenplanung. Auch wir sind interessiert daran, die Spieltheorie auf akademischen Niveau weiterzuentwickeln und damit in neue Gebiete vorzudringen, wie diese ver\u00f6ffentlichte Forschungsskizze zeigt:<\/p>

VARTZIOTIS, Dimitris; BOHNET, Doris; HIMPEL, Benjamin. Smoothing Game. arXiv preprint arXiv:2010.04956<\/i>, 2020, https:\/\/arxiv.org\/abs\/2010.04956<\/a>.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Ressourcenplanung<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Um Netze f\u00fcr Finite-Elemente-Simulationen zu verbessern, m\u00fcssen sie gegl\u00e4ttet werden, indem die Knoten verschoben werden. Wir wollen einen neuen Gl\u00e4ttungsansatz einf\u00fchren, indem wir jedes geometrische Element als Spieler in einem Spiel behandeln: ein Streben nach der besten Elementqualit\u00e4t. Mit anderen Worten, jeder Spieler hat das Ziel, so regelm\u00e4\u00dfig wie m\u00f6glich zu werden.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Optimierung der Netzqualit\u00e4t mittels Spieltheorie. ( Link: https:\/\/arxiv.org\/abs\/2010.04956 )<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Demonstrator f\u00fcr die Optimierung hochkomplexer Systeme mit Cubic AI.<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Optimierung und Graphentheorie<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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<\/a>In der Praxis m\u00fcssen oft relevante Kennzahlen zu einem Prozess oder Modell verbessert werden. Wir verwenden modernste Algorithmen aus der ableitungsfreien, globalen, KI-unterst\u00fctzen oder auch nichtlinearen Optimierung. Unabh\u00e4ngig davon, ob das Problem diskret oder kontinuierlich ist, wir untersuchen es auf L\u00f6sbarkeit und schlagen Ihnen robuste Algorithmen vor. Ein Beispiel findet sich in unserem Produkt Veris\u00ae (Link: https:\/\/twt-innovation.de\/en\/produkte ) welches unter anderem Optimierung in der Routenplanung durchf\u00fchrt. In diesem Umfeld f\u00fchren wir Forschung im Bereich der Quantenalgorithmen durch, welche wir unter anderem auf dem Digital Product Forum 2022 bei Mercedes-Benz vorgestellt haben:<\/p>

<\/a> KRAUS, Hamzeh,\u00a0RIEGG, Andreas (Mercedes-Benz). Co-Autoren: Leder, M. (Mercedes-Benz AG), Vaudrevange, P., Stasinou, M., Banerjee, R., Kr\u00f6ker, R., Dierolf, B., R\u00f6\u00dfler, T., F\u00e4\u00dfler, V., Keckeisen, M.. Quantum computing for a breadth-first search algorithm with application in vehicle route planning, DPF 2022, Stuttgart.<\/b><\/p><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>


Mit Cubic AI (https:\/\/cubicai.twt-gmbh.de\/home<\/a>) bringen wir zus\u00e4tzlich die Optimierung von hochkomplexen Systemen auf ein ganz neues Level. Fast wie bei einem Flaschengeist k\u00f6nnen Sie sich das Verhalten ihres Systems w\u00fcnschen und die moderne KI ermittelt in Echtzeit die Bestapproximation zu ihrer Vorgabe unter Ber\u00fccksichtigung der physikalischen Limitierungen. Cubic AI wurde ebenfalls auf dem Digital Product Forum 2022 vorgestellt.<\/p>

<\/a> WOLF, Thomas (TWT GmbH), KRIWET, Alexander (Mercedes-Benz AG). Co-Autoren: Kohler, J., Springmann, P., Gutsche,\u00a0R. (Mercedes-Benz AG); Riegler, T., Vaudrevange P., R\u00f6\u00dfler T., F\u00e4\u00dfler V., Keckeisen M.. Digital Powertrain – Artificial Intelligence for Virtual NVH Verification of Modern Powertrains, DPF 2022, Stuttgart.<\/b><\/p><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Numerische Methoden<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Sie arbeiten mit komplexen physikalischen Prozessen? Wir simulieren sie unter Verwendung von neuesten numerischen Algorithmen aus der Welt der Mehrk\u00f6rpersimulation, Str\u00f6mungsdynamik und anderen, unter Verwendung von k\u00fcnstlicher Intelligenz zur Simulationsbeschleunigung. F\u00fcr einen unserer Kunden haben wir beispielsweise untersucht, warum ihr verwendeter L\u00f6ser f\u00fcr ein hochdimensionales Gleichungssystem, entstanden aus einer Bremssimulation, in bestimmten Szenarien keine L\u00f6sung findet. Das komplexe Modell, welches unter anderem unstetige Gleichungen beinhaltet hat, wurde so angepasst, dass unter Verwendung einer geeigneten L\u00f6sungsstrategie das Gleichungssystem bei physikalisch relevanten Parametern gel\u00f6st werden konnte.<\/p>

Ein weiteres Beispiel f\u00fcr die wegweisende Anwendung numerischer Methoden, insbesondere im Bereich der finiten Elemente, finden sich in unserem Produkt GETMe, <\/b>der Geometric Element Transformation Method.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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GETMe sticht als konsistentestes im Vergleich mit zwei weiteren Netzgl\u00e4ttungsverfahren hervor. Aus D. S. H. Lo, Finite Element Mesh Generation, S. 350.<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Im Fokus: GETMe - Geometric element transformation<\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Qualitativ hochwertige Netze spielen bei vielen Anwendungen, die auf digitaler Modellierung und Simulation basieren, eine Schl\u00fcsselrolle. Die Finite-Elemente-Methode ist ein Paradebeispiel f\u00fcr einen solchen Ansatz, und es ist bekannt, dass hochwertige Netze die Berechnungseffizienz und L\u00f6sungsgenauigkeit dieser Methode erheblich verbessern k\u00f6nnen. Daher wurde viel Arbeit in Methoden zur Verbesserung der Netzqualit\u00e4t investiert. Diese reichen von einfachen geometrischen Ans\u00e4tzen wie der Laplace-Gl\u00e4ttung, die eine hohe Recheneffizienz, aber m\u00f6glicherweise eine geringe Netzqualit\u00e4t zur Folge haben, bis hin zu globalen optimierungsbasierten Methoden, die zu einer ausgezeichneten Netzqualit\u00e4t auf Kosten einer erh\u00f6hten Rechen- und Implementierungskomplexit\u00e4t f\u00fchren.<\/p>

Die Methode der geometrischen Elementtransformation (GETMe) schlie\u00dft die L\u00fccke zwischen diesen beiden Ans\u00e4tzen.<\/p>

Sie basiert auf geometrischen Netzelementtransformationen, bei denen polygonale und polyedrische Elemente iterativ in ihre regul\u00e4ren Gegenst\u00fccke oder in Elemente mit einer vorgegebenen Form transformiert werden. GETMe kombiniert eine der Laplace-Gl\u00e4ttung \u00e4hnliche Berechnungseffizienz mit einer Effektivit\u00e4t, die an globale Optimierungsmethoden heranreicht.<\/p>



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Gl\u00e4ttung des Europa-Netzes mit Zoom auf Norwegen. Die Netzelemente sind bez\u00fcglich ihrer mittleren Qualit\u00e4tszahl eingef\u00e4rbt.<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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GETme als wegweisendes Verfahren ist mittlerweile im Bereich der Netzgl\u00e4ttung nicht mehr wegzudenken und findet in der einschl\u00e4gigen Literatur immer gr\u00f6\u00dfere Beachtung:<\/p>

\u201eA breakthrough was made when Vartziotis et al. (2008) proposed the GETMe method, which is purely a geometric process to move the nodes of a triangle so as to improve its quality. (…)<\/p>

GETMe is the most interesting node-smoothing scheme as it is purely geometric in nature in transforming elements into regular forms without a direct link to shape quality measure. It is robust in removing inverted and poorly shaped elements rapidly and is consistent in diverse applications to produce quality meshes.“
Daniel S.H. Lo (Finite Element Mesh Generation)<\/p><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Eine Open-Source Implementierung von GETMe ist auf Github verf\u00fcgbar: https:\/\/github.com\/twt-gmbh\/getme<\/p>

Eine ausf\u00fchrliche Beschreibung der mathematischen Theorie sowie numerische Studien zu GETMe finden sich im Buch<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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VARTZIOTIS, Dimitris; WIPPER, Joachim. The GETMe mesh smoothing framework: A geometric way to quality finite element meshes<\/i>. CRC Press, 2018,<\/p><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>

und den dazugeh\u00f6rigen Publikationen, wie beispielsweise<\/p>